Responsables: Z. Chatzidakis, F. Oger, F. Point.
Tous les lundis ouvrables: salle 0D9, à 11h15 (175-179 rue du Chevaleret, Paris 13ème)
Pour recevoir le programme par email : oger_at_logique.jussieu.fr

Le 4 novembre, A.M.W. Glass (Cambridge, U.K.) : Embedding finitely generated abelian lattice-ordered groups: Higman's theorem and a realization of $\pi$.

Let $\xi$ be an irrational real number and $D(\xi)$ be the Abelian group $\Z\times \Z$ ordered by:

This gives an algebraic realisation of every recursive real number (and that includes $\pi$).
The more general result is that an Abelian lattice-ordered group of finite rank can be embedded in a finitely presented lattice-ordered group iff it can be defined by a recursively enumerable set of defining relations.

I will outline the proof which uses continued fractions, (recursive) direct limits, simplicial geometry, and permutation groups (and symbol gymnastics).

The structure of a "tree-free"group, that is, one which acts freely and without inversions on a $\Lambda$-tree, can be described by a a construction generalising that of a free group. This involves the idea of a reduced word, but where words are indexed by elements of a discrete ordered abelian group. It is hoped this will be useful in studying properties of such tree-free groups.

Dans une série d'articles, Ludomir Newelski a developpé la théorie de la multiplicité en analogie avec la théorie de la déviation.
Le contexte est celui d'une structure profinie, où il définit une notion de "m-indépendance" invariante sous automorphisme, symétrique et transitive ; si la théorie est menue (c.à.d. n'a qu'un nombre dénombrable de types purs), la m-indépendance satisfait aussi la proprieté d'extension. Le rang de fondation $M$ par rapport à la m-dépendance a des propriétés similaires au rang de Lascar ; une structure est "m-stable" (il vaudrait mieux dire "m-superstable") si le rang $M$ ne prend que des valeurs ordinales.

Newelski a formulé deux questions :
- (Conjecture du M-écart) : Dans une structure profinie, $M(p)$ est fini ou $\infty$ pour tout type $p$.
- Est-ce que tout groupe menu profini possède un sous-groupe abélien ouvert ?

Je démontrerai la conjecture du M-écart pour les groupes, et répondrai positivement à la deuxième question dans le cas m-stable.

Shelah a montré qu'un groupe libre non dénombrable ne pouvait pas être polonais.
Nous avons montré que ce résultat se généralisait à un groupe tel que tous ses sous-groupes dénombrables sont libres. Nous généralisons encore plus en remplaçant ``libre'' par ``produit libre de groupes de type finis''. S'il reste du temps nous montrerons que de tels groupes ne peuvent être image homomorphe de groupes polonais.

Un groupe pseudo-fini est un modèle de la théorie des groupes finis. Il est tentant de poser la question qui sert de titre à cet exposé. On citera ou établira quelques résultats tres fragmentaires montrant que la question n'est pas déraisonnable. Si le résultat est établi en toute généralité par un des auditeurs éventuels, il y aura un autre orateur et une autre durée. Sinon, l'exposé sera le plus court jamais effectué dans le cadre de ce séminaire. Je conjecture que, si contre-exemple il y a, il ne sera pas découvert avant le l3 janvier. L'exposé, si je l'effectue, sera accessible à tout étudiant de maîtrise ayant obtenu Logique I ou l'équivalent.

V.N.Remeslennikov a proposé en 1976 le problème suivant : est-t-il vrai que tout groupe commutatif dénombrable se plonge dans le centre d'un groupe de présentation finie?
Ce problème figure, comme étant ouvert, à plusieurs endroits :
- Kourovka Notebook, problème 5.47, édition 1999
_ Le site internet de "New York Group Theory Cooperative at CCNY", problème FP17, adresse : http://zebra.sci.ccny.cuny.edu/web/
- Le livre de P. De la Harpe "Topics in Geometric Group Theory", 2000.

B.M.Hurley, dans Word Problems II en 1980, a énoncé (sans démonstration), la proposition suivante : un groupe commutatif dénombrable G est le centre d'un groupe de présentation finie ssi G est récursivement présenté.

Je n'ai trouvé aucune trace d'une démonstration de cette proposition, ni d'ailleurs de B.M.Hurley.

Dans le premier exposé, j'introduirai les notions et théorèmes principaux de la théorie des petites simplifications sur les produits libres amalgamés.
Dans le second exposé, je démontrerai les deux théorèmes suivants :
Théorème I : Soit G un groupe dénombrable. Alors G se plonge dans un groupe de type fini K tel que Z(G)=Z(K) et tel que : si G est récursivement présenté et Z(G) est récursivement énumerable dans G, alors on peut prendre K récursivement présenté.
Theorème II : Soit G un groupe de type fini récursivement présenté. Alors G se plonge dans un groupe de présentation finie H tel que Z(G)=Z(H).

La démonstration se base, en grande partie, sur la théorie des petites simplifications.

On aura comme corollaire la proposition énoncée par B.M.Hurley et une réponse positive au problème de V.N.Remeslennikov.

Un groupe pseudo-fini de type fini est-il fini? Je propose une démonstration élémentaire de ce fait dans le cas résoluble par fini. Je donne un exemple de groupe résoluble de classe 2 oméga stable et pseudo-fini. Dans le cas de la classe de résolubilité 3, je montre qu'un groupe de Chapuis ne peut pas être pseudo-fini.

Le 31 mars et le 28 avril : Françoise Point (FNRS Mons - Paris 7), Introduction aux groupes de Grigorchuk

Ces groupes engendrés par des automates finis (et que l'on peut voir aussi comme groupes d'automorphismes d'arbres) ont fourni des exemples de groupes à croissance intermédiaire, de 2-groupes de type fini infinis, de groupes non élémentairement aménables mais appartenant à la classe NF des groupes qui ne contiennent pas le groupe libre à deux générateurs, etc...
Ces résultats ont ete prouvés par R.I. Grigorchuck dans les années 80. Récemment (2001), R. Grigorchuch et A. Zuk ont construit un tel groupe (engendré par un automate à trois états) dans NF-SG, où SG est la plus petite classe de groupes contenant la classe des groupes à croissance sous-exponentielle et close par extensions et limites directes.
J'essayerai d'introduire le sujet et me baserai sur le chapitre 8 du livre de de la Harpe ``Topics in Geometric group theory''.

Marcus du Sautoy fera aussi un exposé intitulé "Counting subgroups in nilpotent groups and points on elliptic curves", le lundi 5 mai 2003, à 16h30 en salle 0D7.