Responsables: Z. Chatzidakis, F. Oger, F. Point.
Tous les lundis ouvrables: salle 0D9, à 11h15 (175-179 rue du Chevaleret, Paris 13ème)
Pour recevoir le programme par email : point_at_logique.jussieu.fr

Le 13 octobre : Eric Jaligot (CNRS, Paris 7) Groupes existentiellement clos chez les groupes aux centralisateurs abéliens et autonormalisants

On s'intéresse à la classe des groupes sans involutions dans lesquels les centralisateurs sont abéliens et autonormalisants. C'est une classe universelle et elle contient des groupes existentiellement clos. Le but de cet exposé est de parler de quelques propriétés algébriques élémentaires des existentiellement clos de cette classe, essentiellement la divisibilité et la conjugaison de leur sous-groupes abéliens maximaux.

Le 20 octobre : Gabriel Sabbagh (Paris 7), Les groupes presque finiment axiomatisables.

La notion de groupe QFA a été introduite par Nies (IJAC, vol.13, juin 2OO3, pp. 287-3O2). Un groupe G de type fini est quasiment finiment axiomatisable s'il existe un énoncé (de la théorie des groupes) vrai dans G dont tout modèle de type fini en tant que groupe est isomorphe à G. Nies a démontré que le groupe nilpotent libre de classe 2 à 2 générateurs est QFA en utilisant l'interprétation de Malcev. Cette démonstration est ingénieuse mais contredit une certaine idée de la "pureté des méthodes".
On caractérise en restant dans le monde des groupes les groupes nilpotents QFA, on montre que tous les groupes nilpotents libres de type fini sont QFA et l'on répond à d'autres questions de Nies et Belegradek.
Les résultats ont été obtenus avec Francis Oger et sont en fait une application de techniques publiées par lui il y a plusieurs années.

Etant donné un langage relationnel fini L, on donne une condition nécéssaire et suffisante pour qu'une L-structure uniformément localement finie M qui satisfait la propriété d'isomorphisme local soit élémentairement équivalente à une structure rigide.

Le 10 novembre : Abderezak Ould Houcine (Paris 7) Autour de la conjecture de Kervaire-Laudenbach

La conjecture de Kervaire-Laudenbach s'énonce comme suit : si G=(A*)/N(r) est trivial alors A est trivial, où r est un élément de A* et N(r) est la clôture normale de r. On s'intéresse à certaines formulations équivalentes à cette conjecture. On exposera, en particulier, certains cas où elle est résolue.

Le mois de décembre sera consacré à une introduction aux "Immeubles de Tits" faite par Patrick Simonetta (Paris 7).

Le 19 janvier : Thomas Delzant (Strasbourg) Groupes de Burnside et toute petite simplification

Le groupe de Burnside libre de rang r et d'exposant n , noté B(r,n), est le plus grand groupe à r generateurs et dont tout élément est d'ordre n (ce groupe satisfait la loi gⁿ=1.)
La question (toujours ouverte pour les petits entiers 6< n < 10 ³) est de savoir si ce groupe est fini ou non.
Je présenterai les grandes lignes d'une nouvelle démonstration de l'infinité de B(r,n), pour n très grand (travail en commun avec M. Gromov).
Il s'agit de mettre en oeuvre une théorie "asymptotique" de la petite simplification, c'est-à-dire d'étudier des familles de présentations à petite simplification C(l), avec l qui tend vers zero.

Le 9 février : Françoise Point (FNRS-Mons) Sur les groupes recouverts par un nombre dénombrable d'ensembles types définissables, d'après le préprint "Covering of groups and types" de L. Newelski et M. Petrykowski

Lundi 22 mars : Abderezak Ould Houcine (Paris 7) : Application du forcing à la théorie des modèles des groupes de type fini (suite de l'exposé du 15 mars)

Lundi 29 mars : Anatole Khélif (Paris 7) : Propriété de Bergman

Un groupe G est dit avoir la propriété de Bergman si et seulement si pour toute partie génératrice X de G, il existe un entier naturel n tel que tout élément de G peut s'écrire comme le produit d'au plus n éléments de X (on peut aussi supposer X symétrique).
Bergman a montré qu'un groupe de permutations d'un ensemble infini vérifie cette propriété. C'est également le cas pour un groupe 2-transitif d'automorphismes d'une chaîne infinie. 
Je me propose de montrer qu'un groupe résoluble infini ne peut pas vérifier cette propriété. Je donnerai aussi un cas où pour deux groupes élémentairement équivalents, l'un vérifie Bergman et l'autre non. Enfin j'étudierai les rapports entre la propriété de Bergman et la stabilité.

Le 10 mai : Eric Jaligot (CNRS - Paris 7) Une nouvelle borne sur le 2-rang de Prüfer

Depuis plusieurs années, on tente de classifier les groupes simples de rang de Morley fini, avec comme but idéal la conjecture de Cherlin qui postule qu'un tel groupe est algébrique. En fait, ce qu'on arrive à faire est limiter (très sévèrement) la taille des 2-Sylow des contrexemples (potentiels) minimaux à cette conjecture.
J'expliquerai un argument récent pour les groupes de type impair (i.e. la caractéristique différente de 2), qui exclut certains de ces contrexemples minimaux de 2-rang de Prüfer strictement supérieur à 1.

Lundi 17 mai : Francis Oger (Paris 7) Groupes Quasi Finiment Axiomatizables et groupes modèles premiers de leur théorie

Francis Oger et Gabriel Sabbagh, généralisant des résultats précédents d'André Nies, ont montré qu'un groupe nilpotent de type fini est Q.F.A. ssi il est modèle premier de sa théorie.
Dans cet exposé, on étudiera les relations qui existent entre ces deux propriétés pour des classes plus larges de groupes.

Lundi 24 mai : Ruediger Goebel (Essen) How rigid are reduced products?

The talk comes from recent work with Saharon Shelah: It starts with a problem on abelian groups but is related to a question in model theory and deals with combinatorial methods.
A radical $R$ by definition is a subfunctor of the identity on (e.g.) abelian groups X such that $R(X/RX)=0$. Often a radical comes from a group $G$, say $R_G(X) = \bigcup \{ ker \psi : \psi: X\rightarrow G\}$. The example of the torsion radical $t = R_Q$ ($Q$ = rationals) shows immediately that radical need not commute (even with countable) cartesian products. Let $||R||$ (the norm of $R$) be the minimal cardinal where commutativity breaks down (if the cardinal does not exist, call $||R||=\infty$. Which cardinals appear as norms of radicals?

This is related to a problem on reduced products: Let $Z^\mu$ be the group of all integer valued functions on a cardinal $\mu$, and let $Z_\mu$ be the factor group modulo all functions with (usual) support of size $< \mu$. Suppose $\mu<\chi$ are cardinal: When is Hom(Z_\mu,Z_chi)= 0?

This question can be transformed into a model theoretic condition on elementary extension of particular models, a question looked at already in the 70th of the last century by Rabin and (in unpublished notes by Shelah). Putting all this and a little more together we obtain a satisfying answer to these problems.

Lundi 7 juin : Bruno Poizat (Lyon I) Sous-groupes superstables de SL_2(K)

Dans ce travail en commun avec Erulan Mustafin, nous montrons le théorème suivant :
Théorème. Si K est un corps algébriquement clos, tout sous-groupe G infini, non-résoluble et superstable de SL_2(K) est conjugué de SL_2(k), où k est un sous-corps algébriquement clos de K .

Ce théorème a été montré dans la thèse de Mustafin sous les hypothèses plus fortes, où K est un corps superstable et G est définissable dans K ; cela signifie encore que le corps K , muni des opérations de corps, et de la relation quaternaire définissant G , constitue une structure superstable. Dans le présent article, nous supposons seulement que G , muni de sa loi de groupe, est une structure superstable ; il se trouve que G se plonge dans SL_2(K) , mais nous ne supposons pas que son action linéaire soit définissable.
Il a pour corollaire que tout modèle superstable de la théorie universelle des groupes libres est commutatif.
Nous travaillons maintenant à généraliser le résultat aux sous-groupes superstables de PSL_2(K) ; si ça marche, cela impliquera que les mauvais groupes de rang trois ne sont pas linéaires.

Lundi 14 juin : Ludomir Newelski (Wroclaw) Small profinite groups and structures: a toy model theory

Within models of first-order theories we can interpret naturally profinite groups (and more generally: structures). Their nature tells us something about the structure of the original models. For example, when the theory is superstable with few countable models, then every profinite group interpretable in it is abelian-by-finite.
We can extract the profinite groups and structures from the encompassing models and investigate them on their own. This leads to the abstract notion of profinite structure. Of particular interest are the small profinite structures and small profinite groups. For them we can mimick many arguments of geometric model theory, including construction of group from a group configuration. There is a question if every small profinite group has an open abelian subgroup.

Jeudi 17 juin à 15h30 salle 0D9 : John Wilson (Oxford, UK.) Aspects of growth of groups

Some problems concerning (word) growth of groups will be discussed; these include answers to two questions of Gromov dating back to 1981. The lecture will be mainly expository, but a problem will arise whose proof will be described in detail in some later lectures.

Mardi 22 juin à 14h30 (dans le cadre de DDG) : John Wilson (Oxford, UK.) Characterizations of finite soluble groups

This will be a description (mainly expository) of some of the characterizations that can now be given for finite soluble groups. The characterizations appear natural and attractive, but their proofs depend crucially on partial classification results for finite simple groups.

Jeudi 24 juin à 11h et à 14h30, mercredi 30 juin à 11h et à 14h30, salle 0D9 : John Wilson, Lemme de l'échange dans les groupes.

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