Responsables: Z. Chatzidakis, F. Oger, F. Point.
Tous les mardis ouvrables: salle 0D9, à 11h00 (175-179 rue du Chevaleret, Paris 13ème).
Pour recevoir le programme par email : point_at_logique.jussieu.fr

Mardi 5 octobre : Martin Bays (Paris 7), Around pseudo-exponentiation and quasi-minimal excellence, I.

(A series of two introductory talks on the subject.) Le corps des nombres complexes muni d'une exponentielle C_exp := (C;+,.,exp), interprète l'arithmétique. Donc, sa théorie du premier ordre n'est certainement pas une théorie “bien apprivoisée” (tame). Néanmoins, Zilber a lancé un programme avec pour but l'isolation d'une telle “sauvagerie” (wildness) de C_exp. En particulier, il conjecture que C_exp possède une bonne théorie dans un langage infinitaire - plus précisement, il a demontré qu'il existe un énoncé dans un langage infinitaire (L_{ω_1}^ω(Q)) pour les corps exponentiels qui est catégorique en tout cardinal non-dénombrable, et il conjecture que le modèle de cardinalité du continu - le “corps pseudo-exponentiel” - est isomorphe à C_exp.

Je présenterai ce théorème et les idées principales - dont la conjecture de Schanuel, ses liens avec les constructions de Hrushovski, et la notion Shelahienne d'“excellence” - et discuterai en passant des résultats annexes (démontrés inconditionnellement) sur des réduits de C_exp (“revêtements” et “puissances”). Enfin, j'énoncerai plusieurs autres problèmes ainsi que quelques réponses autour du même sujet.

Mardi 19 et 26 octobre : Martin Bays (Paris 7), Around pseudo-exponentiation and quasi-minimal excellence, II, III.

I will continue my exposition of the Zilberian approach to the model theory of complex exponentiation and associated structures. I will focus this week on the concept of Quasi-Minimal Excellence, and its role in the categoricity proofs.

Mardi 2 et 16 novembre : Zoé Chatzidakis (CNRS-Paris 7), L_{ω_1}(Q), définitions et résultats de base.

Introduction aux langages L_{ω_1} et L_{ω_1} (Q); et quelques théorèmes importants.

Mardi 9 novembre : Jeff Burdges (Lyon 1), The quasi-thin case and bad G_2

The Cherlin-Zilber Algebraicity Conjecture proposes that the simple groups of finite Morley rank, or equivalently the uncountably categorical simple groups, are in-fact Chevalley groups over algebraically closed fields. To date, progress towards the conjecture has generally been “top down” in that groups with larger Sylow 2-subgroups are treated first, saving smaller groups with few involutions until the methods are further refined.

In this vein, we are currently analyzing groups that would have Lie rank two, the so-called quasi-thin case. In the quasi-thin case, we have fairly complete result for groups containing an elementary abelian 2-group of order 8, which should be either PSp_4 or G_2. We still face one major obstruction however : A group almost identical to G_2 in characteristic 3 except for the maximal unipotent subgroup being contained entirely inside the centralizer of an involution.

We will ease exposition by restricting to portions of the analysis for which so-called genericity arguments are captured by the following two results :

Toricity Theorem [BC]. Any p-torsion lies inside a divisible abelian group unless the ambient group of finite Morley rank contains an infinite elementary abelian p-group.

C(T) Theorem [AB]. The centralizer of a divisible abelian torsion group in a connected group of finite Morley rank is itself connected.

Mardi 23 novembre : Romain Tessera (ENS Lyon), Problème du mot dans les groupes de Lie et leurs réseaux cocompacts.

La fonction de Dehn D associée à une présentation de groupe <S,R> mesure la complexité du problème du mot pour cette présentation. Dans le cas où <S,R> est une présentation compacte d'un groupe localement compact G, le comportement asymptotique de D ne dépend que de la géometrie à grande echelle de G. En particulier si G est un groupe algébrique sur un corps local et H est un réseau cocompact, alors D_G et D_H ont même comportement asymptotique.
Dans un travail commun avec Cornulier, nous démontrons que dans un groupe de Lie, D croît soit exponentiellement, soit polynomialement, et nous caractérisons algébriquement cette dichotomie. Par contraste, dans le cas non-archimédien, nous démontrons que si le groupe est compactement presenté, alors D croît au plus cubiquement.

Mardi 30 novembre 2010 : Juan-Diego Caycedo (Freiburg), Green fields with torsion

Green fields are certain expansions of algebraically closed fields by a predicate for a multiplicative subgroup that were constructed by Poizat using Hrushovski's amalgamation method. One of the main features of the construction is that finding an axiomatization of the complete theory of these structures reduces to algebro-geometric statements about intersections of algebraic subvarieties and algebraic subgroups of algebraic tori. It was shown by Poizat that these statements follow from Zilber's Conjecture on Intersections with Tori (CIT) and that a weaker, proven statement suffices if the distinguished subgroup is assumed to be torsion-free. In the talk I will review Poizat's arguments to explain the difficulty in the presence of torsion and then show how to deal with this case without resorting to assuming the CIT.

Mardi 7 décembre et 4 janvier : Martin Bays (Paris 7), Atomic classes.

I will continue the presentation of Baldwin's exposition of Shelah's classification theory for L_{ω_1ω} which Zoé began, discussing classes of atomic models of first order theory and corresponding notions of rank and independence. We can consider this as a prelude to understanding excellence for these classes, and its relation to categoricity of L_{ω_1ω} sentences.

Mardi 11 janvier : Pierre Simon (Orsay), Théorème de décomposition de Shelah pour les théories NIP

Mardi 18 janvier : : Misha Gavrilovich (Vienna - IHES), Universal covers of Abelian varieties : ω-stability in L_{ω_1,ω}

Mardi 1er février : Chloé Perin (Strasbourg), Homogénéité du groupe libre

On a montré avec Rizos Sklinos que tout groupe libre F de rang dénombrable est homogène, c'est-à-dire que si deux n-uplets a et b ont le même type sur F, alors il existe un automorphisme de F qui envoie a sur b. On essaiera cette fois-ci de donner une idée de la preuve de ce résultat, qui s'appuie sur des outils de géométrie des groupes telles que les décompositions JSJ.

Mardi 8 février : Martin Bays (Paris 7), Independence in ω-stable atomic classes, Part II

Mardi 15 février à 16h (salle 1C06) : Anatole Khélif (Paris), Propriétés de Cantor-Bernstein pour des groupes abéliens.

On dit qu'une structure admet la propriété de Cantor-Bernstein si, pour tous X,Y dans cette structure, s'il existe un endomorphisme envoyant X sur Y et un autre envoyant Y sur X, alors il existe un automorphisme envoyant X sur Y. Nous montrerons qu'un groupe abélien de torsion vérifie cette propriété. Ce résultat fait partie d'un travail en commun avec S. Shelah sur l'équivalence infinie-élémentaire entre groupes abéliens.

Mardi 5 avril à 14h15 salle 5C03 : Francis Oger (CNRS - Paris 7), Produits de graphes et équivalence élémentaire

On considère des graphes avec des arêtes non orientées. Il est connu que tout graphe connexe localement fini s'exprime de manière unique, à isomorphisme et permutation près, comme produit cartésien (respectivement produit fort) fini de graphes indécomposables pour le produit considéré. Nous montrerons notamment, pour chacun des deux produits, que deux tels graphes sont élémentairement équivalents si et seulement si les facteurs dans leurs décompositions sont élémentairement équivalents à permutation près.

Mardi 26 avril à 14h15 salle 5C03 : Clément Lasserre (Paris 7), Les groupes F et T de R. Thompson sont QFA

Un groupe de type fini est dit quasi finiment axiomatisable (QFA) s'il est distingué des autres groupes de type fini par un énoncé du premier ordre. L'étude des groupes F et T de R. Thompson nous permet de répondre de façon positive à une question de A. Nies : il existe un groupe QFA simple. Lors d'une étude de groupes résolubles, A. Khélif a montré que si un groupe et l'arithmétique sont bi-interprétables, alors ce groupe est QFA. D'autre part, les groupes F et T, en particulier, interprètent l'arithmétique. Ceci a été montré pour F par V. Bardakov et V. Tolstykh, puis pour d'autres groupes de permutations affines par morceaux, dont T, par T. Altinel et A. Muranov. Ces derniers ont posé la question de savoir si F et l'arithmétique sont bi-interprétables. Nous répondons de façon positive à cette question et montrons qu'il en est de mème pour T, qui est simple.

Mardi 3 mai : Isaac Goldbring (UCLA), A Survey of the model theory of the Urysohn space

Urysohn's metric space U is the unique (up to isometry) Polish (i.e. complete, separable) metric space which is universal, that is it contains an isometric copy of all Polish metric spaces, and ultrahomogeneous, that is any isometry between finite subspaces of U extends to an isometry of U. Urysohn's metric space (and its isometry group) has been studied by topologists and descriptive set theorists for a plethora of reasons. In this talk, I will outline much of what is known on the model theory of Urysohn's metric space in the context of model theory for metric structures. I will discuss matters such as axiomatizability, quantifier elimination, independence relations, and definability.

Mardi 24 mai 11h, salle 0C08 : George Willis (Newcastle, Australia), Totally disconnected, locally compact groups

The study of general locally compact groups may be divided into two cases: connected groups, which occur as automorphisms of smooth structures such as spheres for example; and totally disconnected groups, which occur as automorphisms of discrete structures such as trees and buildings.

While connected locally compact groups have long been understood through the method of approximation by Lie groups, totally disconnected groups are only now coming to be understood at similar depth. Elements of the theory that have parallels with Lie algebra techniques will be described in this talk. The basic concepts are the notions of scale and minimizing subgroup for a group automorphism. These notions are defined in terms the action of the automorphism on the compact, open subgroups of the totally disconnected, locally compact group. Time permitting, some recent progress towards an analysis of simple totally disconnected, locally compact groups will be sketched.

Mardi 24 mai, 14h15, salle 0D04 : Alex Usvyatsov (Lisbonne), On strict independence in dependent theories

We investigate basic properties of "strict independence" in dependent theories (theories with NIP). We explore connections between strict independence, Shelah's notion of strict nonforking, and various notions of weight. This is a joint work with Itay Kaplan.

Mardi 31 mai : Alice Medvedev (UC Berkeley), Ranks in difference fields

ACFA, the model companion of the theory of fields with a distinguished automorphism, is a supersimple theory, so Lascar rank is a good model-theoretic notion of dimension in its models. There are also some algebraic notions of dimension, including \sigma-degree, which interact interestingly with the Lascar rank. This talk is about some difference varieties with high \sigma-degree and low Lascar rank. Most of these examples are rank 1, and all are modular. They are interesting because they cohere into finite rank definable sets in QACFA, the model companion of the theory of fields with an action by (\mathbb{Q}, +), but I will not say much about that here.

Mardi 31 mai à 16h, salle 0D07 : André Nies (Auckland), Borel structures and Borel theories

Continuum size structures occur naturally in analysis, algebra, and other areas. Examples are the additive group of real numbers, and the ring of continuous functions on the unit interval. How about effectiveness constraints on their presentations? A reasonable approach is to require that domain and relations are Borel. Most examples of structures from these areas have presentations of this kind.

Borel structures were introduced by H. Friedman in 1978. He proved among other things that each countable theory has a Borel model of size the continuum. Hjorth and I considered the l case where the language is uncountable but Borel (for instance, the language of a vector space over the reals). In a JSL paper (to appear June 2011) we show that the completeness theorem fails for Borel structures of this kind: some complete Borel theory has no Borel model.

I will discuss this theorem and its proof. I will also include open questions. For instance, does every Borel field Borel embed into a Borel algebraically closed field? If not, this would yield an alternative proof of my result with Hjorth.

Mardi 14 juin : H. Kikyo (Kobe), On superstable generic structures

Baldwin conjectured that if an ab initio generic structure is superstable then it is omega-stable. It is known that this conjecture is true if the amalgamation class has certain property and the generic structure is saturated.

Ikeda constructed a superstable ab initio generic binary graph which is not omega-stable. In his example, the predimension function has coefficient 1. With Ikeda, we succeeded to construct a superstable ab initio generic structure which is not omega-stable for any predimension function with rational coefficient less than 1. I will explain an outline of the proof and discuss further questions.

Mardi 5 juillet : Martin Bays (Paris 7), Some Definability Results in Abstract Kummer Theory.

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