Responsables: Z. Chatzidakis, F. Oger, F. Point.
Tous les mardis ouvrables: à 16h00, salle 2015, Bâtiment Sophie Germain. (Exceptionnellement, sur annonce, pourra avoir lieu à 14h).
Pour recevoir le programme par email : oger_at_math.univ-paris-diderot.fr

On s'intéresse aux intégrales oscillantes avec phase et amplitude définissables dans la structure R_an (l'expansion du corps réel par toutes les fonctions analytiques restreintes au cube unité). Plus précisement, on considère l'algèbre engendrée par toutes les fonctions de la forme F(x), log|F(x)|, exp(iF(x)), où F(x) est définissable dans R_an.
On veut comprendre la nature des intégrales à paramètre des fonctions de cette algèbre. Cette famille est stable par intégration ? Quelle est la nature du lieu d'intégration ?
La réponse à ces questions s'obtient en ajoutant certaines fonctions “transcendantes” à l'algèbre d'origine. Les preuves des résultats que je montrerai utilisent la o-minimalité de R_an et un théorème de préparation des fonctions définissables dans R_an.

Travail en commun avec R. Cluckers, G. Comte, D. Miller et J.-P. Rolin.

Mardi 6 octobre : Zoé Chatzidakis (ENS), Introduction à la logique continue

Cet exposé présentera, de façon très informelle et dilettante, une introduction à la logique continue.

Mardi 20 octobre à 14h en salle 2018 : Haydar Göral (Lyon I), Model Theory of Algebraic Numbers with Elements of Small Height

Diophantine approximation results by heights are of fundamental importance in diophantine geometry, such as Roth's theorem. In this talk we introduce the heigth function and give a lower bound in terms of the height function for a certain class of algebraic numbers. In particular, these algebraic numbers cannot be roots of unity. Our method is via model theory and so our bounds will be ineffective. We also relate simplicity of certain pairs with Lehmer's conjecture.

Mardi 20 octobre à 16h en salle 2015 : Nathanaël Mariaule (Paris 7), Modèle-complétude pour les structures sous-analytiques p-adiques

Un fameux résultat de J. Denef et L. van den Dries nous dit que la théorie des entiers p-adiques admet l'élimination des quantificateurs dans le langage des anneaux p-adiquement clos étendu par des symboles pour les fonctions analytiques restreintes et un symbole de division.

Dans cet exposé, nous nous intéresserons aux sous-langages de ce dernier et verrons des conditions pour avoir non plus l'élimination des quantificateurs mais la modèle-complétude.

Plus précisément : Soit F une famille de fonctions analytiques convergentes sur l'anneau des entiers p-adiques. La question principale de l'exposé est :

Quelles conditions doit-on imposer sur F pour que la théorie de l'anneau des entiers p-adiques dans le langage des anneaux augmenté par des symboles pour les éléments de F soit modèle-complète.

Nous montrerons que c'est le cas si F est fermé par “fonctions de décomposition” et que l'ensemble des termes est clos par dérivation.

Mardi 3 novembre à 14h en salle 2018 : Dmitry Sustretov (U. Hébraïque), La trichotomie restreinte

Je vais présenter les résultats du travail commun avec Assaf Hasson sur la démonstration d'une conjecture de Zilber dite trichotomie restreinte. Soit M une courbe algébrique au-dessus d'un corps algébriquement clos, et soit (M, ...) une structure dont les relations atomiques sont définissables dans le language de Zariski de M et qui est non localement modulaire. Supposons d'ailleurs que le fait que la structure est non localement modulaire est temoigné par une famille des ensembles définissables dans M^2 sans composantes connexes 0-dimensionnelles, de dimension deux. Alors (M, ...) interprète un corps algébriquement clos.

Mardi 10 novembre : François Le Maitre (Paris 7), Introduction à la stabilité en logique continue

Je présenterai la traduction par Ben Yaacov et Usvyatsov en logique continue de la notion de formule stable et les caractérisations qu'ils ont obtenues. Je détaillerai un exemple important de structure métrique stable : l'algèbre de mesure associée à un espace de probabilité sans atomes.

Mardi 24 novembre : Pierre Simon (Lyon I), Décompositions de types dans les théories NIP

J'expliquerai comment décomposer un type dans une théorie NIP en une partie stable et un 'quotient' distal (complètement instable, dans un certain sens). Je donnerai les idées de la preuve qui est basée sur un résultat similaire pour les suites indiscernables.

Mardi 1er décembre : Laurent Bartholdi (ENS), L'ordre limite sur les groupes

On définit sur la classe des groupes de type fini la relation suivante: G ≼ H si, une fois qu'une partie génératrice de H a été fixée, on peut varier la partie génératrice de G pour que les boules de rayon arbitrairement grand coïncident dans G et H.
C'est une relation d'émulation»: tout calcul effectué dans une portion finie de H peut être émulé dans une portion finie de G. C'est un “préordre”: la relation est évidemment transitive. J'indiquerai quelques propriétés élémentaires de ce préordre, et en particulier une caractérisation de ses sous-ordres.
Un groupe G est dit de croissance exponentielle si, pour toute partie génératrice S, la limite λ_{G,S}=lim({nombre d'éléments de longueur ≤ n dans G^{1/n}}) est >1. De plus, cette croissance est dite uniforme si inf_Sλ_{G,S}>1. Gromov a demandé en 1981 s'il existe des groupes de croissance exponentielle non-uniforme.
Je montrerai qu'il en existe en fait beaucoup: tout groupe dénombrable se plonge dans un groupe de croissance exponentielle non-uniforme.
Il s'agit d'un travail en commun avec Anna Erschler.

Mardi 8 décembre : Erik Walsberg (Paris 6), Interpreting the monadic second-order theory of (ℕ,<) in expansions of (ℝ,<,+).

We discuss the following result, which is joint work with Philipp Hieronymi

Suppose that R is a first order expansion of (ℝ,<,+) which satisfies either of the following:

(1) There is a definable perfect nowhere dense subset of ℝ.
(2) There is a definable discrete subset D of ℝ^k and a definable function f: ℝ^k → ℝ such that f(D) is somewhere dense.

Then R interprets the monadic second-order theory of (ℕ,<).

Mardi 26 janvier : Ronald Bustamante-Medina (Costa-Rica), Geometric Characterisation of Partial Differentially Closed Fields

We will discuss the work of Pierce and of León Sánchez on the existence of a geometric axiomatisation of the model-companion of the theory of fields with finitely many commuting derivations. That is, a presentation of the axioms in terms of varieties and prolongations (in the spirit of Pierce and Pillay's result on fields of characteristic zero with one derivation). We will also discuss the case of positive characteristic treated by Pierce.
(NB : L'exposé sera sans doute en français)

Mardi 2 février : Martin Bays (Münster), CCMA, and its imaginaries

I will discuss the model theory of CCMA, the theory of compact complex manifolds with a generic automorphism. In particular, I will explain how a criterion due to Hrushovski reveals it to have some surprising non-eliminable imaginaries. This is part of some joint work with Martin Hils and Rahim Moosa.

Mardi 16 février : Franziska Jahnke (U. Muenster), Henselianity in the language of rings

(Joint work with Sylvy Anscombe)
We consider four properties of a field K related to the existence of (definable) henselian valuations on K and on elementarily equivalent fields and study the implications between them. Surprisingly, the full pictures look very different in equicharacteristic and mixed characteristic.

Mardi 1er mars : Arthur Forey (Paris 6), Densité locale motivique et p-adique uniforme

Je présenterai un analogue motivique de la densité locale introduite par Kurdyka-Raby dans le cas réel et Cluckers-Comte-Loeser dans le cas p-adique. Celle-ci s'applique aux définissables dans une théorie de corps Henséliens modérée (au sens de Cluckers-Loeser), en caractéristique nulle et caractéristique résiduelle quelconque.
Comme dans les cas sus-cités, il existe un cône tangent distingué sur lequel on peut calculer la densité si on lui attache des multiplicités, qu'on définit en décomposant l'ensemble définissable étudié en graphes de fonctions (localement) 1-Lipschitziennes. Cela implique en particulier une version uniforme du théorème de Cluckers-Comte-Loeser sur la densité p-adique.

Mardi 15 mars, salle 1016, Margaret Thomas (Konstanz) :

à 14h15, dans le cadre du séminaire DDGS : Smooth parameterization in o-minimal structures

The counting theorem of Pila and Wilkie opened up one of the most important developments in model theory in recent years. It provides a bound on the density of rational points for sets definable in o-minimal expansions of the real field, a result which has had several stunning number-theoretic applications (e.g. to the Manin-Mumford and André-Oort Conjectures). Central to the proof of the theorem is an o-minimal version of Yomdin-Gromov parameterization, a type of `smooth parameterization', the decomposition of sets using functions with controlled higher-order derivatives. Originally introduced to study topological entropy and volume growth in smooth dynamics, this technique also has other important geometric and arithmetical consequences.

We will provide some background on various applications of smooth parameterizations, and, time permitting, discuss different aspects of ongoing work to improve them using o-minimality. In addition to returning to the original realm of smooth dynamics, one direction is the pursuit of an effective version of the Pila-Wilkie Counting Theorem (the subject of the later Séminaire de Théorie des Modèles et Groupes). Another direction is the study of `mild parameterization', another type of smooth parameterization, in o-minimal structures. This is aimed towards a conjecture of Wilkie, which proposes a significant sharpening of the Pila-Wilkie bound for sets definable in the (o-minimal) real exponential field, to approach which mild parameterization has been the main geometric tool used to date.

à 15h45 : Effective Pila-Wilkie bounds for restricted Pfaffian surfaces

The proof of the celebrated Pila-Wilkie theorem, which provides a bound on the density of rational points for sets definable in o-minimal expansions of the real field, is not effective: it does not give a procedure which, given a definable set, will compute the Pila-Wilkie bound for that set. This of course constrains the effectivity of its applications. Following on from the earlier Séminaire de Structures Algébriques Ordonnées, we will focus on recent progress made towards finding an effective version of this theorem. So far (in joint work with Jones) we have begun by establishing such a result for certain surfaces described by restricted Pfaffian functions, making use of the work of Khovanskii, Gabrielov and Vorobjov. Time permitting, we may discuss aspects of this proof, possible future developments, as well as various diophantine applications of these results.

Mardi 22 mars à 14h : Thomas Scanlon (UC Berkeley), Tilting and Ax-Kochen-Ershov principles

The tilting construction of p-adic Hodge theory gives a remarkable equivalence between certain categories of objects over (some) mixed characteristic valued fields and (some) valued fields of positive characteristic. In on-going joint work with Silvain Rideau, I have been examining to what extent these equivalences may be interpreted as strengthenings of Ax-Kochen-Ershov principles. We show, for instance, that it follows from the tilting/untilting constructions that the theory of a perfectoid henselian field of mixed characteristic (0,p) is determined by the theory of its reduction modulo p rather than requiring all of its reductions modulo powers of p as in the usual AKE principle.

Mardi 29 mars : Sergei Starchenko (U. Notre Dame), On the growth of Ramsey function is some structures

For a formula φ(x_1,...,x_k) let R_φ(n) be the minimal number N such that every sequence of length N contains an φ-indiscernible subsequence of length n.

It is known that in general R_φ growth as an exponential tower of hight k-1.

To some surprise, by a result of Bukh and Matousek, in the case of the field of real numbers, when each x_i is a singleton, R_φ grows double exponentially.

In this talk we will outline a model-theoretic version of the proof of Bukh and Matousek and also extend it to the case of p-adic numbers.

This is a joint work with A.Chernikov

Mardi 5 avril : Dario Garcia (Lyon I), Unimodularity unified

Unimodularity was defined by Hrushovski, in his proof that a unimodular strongly minimal set is one-based, thus generalising Zilber's result that a locally finite strongly minimal set is 1-based. It was claimed in the same paper that unimodularity was equivalent to a weaker notion known later as functional unimodularity. In an attempt to clarify the situation, Pillay and Kestner distinguished two types of functional unimodularity -one for definable sets and one for type-definable sets- and studied their relationship in the context of strongly minimal structures.

In this talk, I will present joint with Wagner where we introduce yet another variant called correspondence unimodularity (for types and for definable sets) and present several results describing the relationship between the different concepts.

For instance, we show the variants of unimodularity for types coincide in omega-stable theories, and all variants coincide for non-multidimensional theories where the dimension is associated to strongly minimal types (e.g. strongly minimal theories or groups of finite Morley rank).

Mardi 3 mai : Quentin Brouette (U. Mons), Types définissables dans les corps ordonnés différentiellement clos

La théorie des corps ordonnés différentiellement clos (désignée CODF) est la modèle complétion de la théorie des corps ordonnés munis d'une dérivée. Elle a été définie et axiomatisée par Singer. En particulier, un modèle de CODF est un corps réel clos.

Dans cet exposé, après avoir rappelé la caractérisation des types définissables dans les théories o-minimales (résultat obtenu par Marker et Steinhorn, ainsi que Pillay), on prouvera une caractérisation similaire des types définissables dans CODF:
tp(u/A) est définissable si et seulement si A est Dedekind complet dans la clôture réelle du corps différentiel engendré par A et u.

Ensuite, on montrera que les types définissables sont denses dans l'espace de Stone de CODF.

Vendredi 10 mai à 10h30 en salle 1014 : Zoé Chatzidakis (CNRS - ENS), Compter modulo n dans les corps pseudo-finis

(D'après un préprint de Will Johnson, août 2013).

On considère la théorie T des corps finis dans le langage des anneaux augmenté par des constantes permettant de définir les extensions algébriques du corps. Cette théorie est modèle-complète.

L'article montre grosso modo le résultat suivant :
Etant donnés des entiers k,n et une formule φ(x,y), il existe alors une formule ψ(y), qui dans chaque modèle fini de T définit l'ensemble des uplets b tels que la cardinalité de l'ensemble défini par φ(x,b) soit congrue à k modulo n.

Je donnerai la version plus précise du résultat, ainsi que quelques idées sur la preuve, au moins quand n n'est pas divisible par la caractéristique du corps.

Mardi 31 mai, 10h, salle 2015 : Gabriel Lehéricy (U. Konstanz), Classification des C-groupes abéliens par les quasi-ordres.

Résumé

Mardi 14 juin à 10h30, salle 2015 : Martin Hils (Paris 7), Model theory of compact complex manifolds with an automorphism

(joint work with Martin Bays and Rahim Moosa)
One may develop the model theory of compact complex manifolds (CCM) with a generic automorphism in rather close analogy to what has been done for existentially closed difference fields, in important work by Chatzidakis and Hrushovski, among others. The corresponding first order theory CCMA is supersimple, and the Zilber trichotomy holds for “finite-dimensional” types of SU-rank 1.

In the talk, I will present some results in CCMA in the spirit of geometric simplicity. I will then discuss the question of stable embeddedness for certain definable sets.

Mardi 14 juin à 14h15 salle 1016 : Samaria Montenegro (U. Los Andes, Bogota), Groupes définissables dans les corps PRC

(Travail en commun avec Alf Onshuus et Pierre Simon)
Les corps PRC sont une généralisation des corps PAC et des corps réels clos. Plus précisément un corps M est pseudo réel clos (PRC) si M est existentiellement clos (dans le langage des anneaux) dans chaque extension régulière L à laquelle tous les ordres de M s'étendent.
Dans cet exposé on va étudier les groupes définissables dans les corps PRC. En particulier on va regarder le cas où les groupes ont des types fortement f-génériques. On va définir une notion de groupe multi-semi-algébrique, et voir la relation entre les groupes définissables et les groupes multi-semi-algébriques.

Mardi 14 juin à 16h salle 1016 : Silvain Rideau (UC Berkeley), Imaginaires dans les pseudo-p-adiquement clos

(Travail en commun avec Samaria Montenegro)
Dans sa thèse, Samaria Montenegro a démontré que les théories des corps pseudo-réels clos et pseudo-p-adiquement clos bornés ont de très bonne propriétés modèle-théoriques (en particulier de modération, mais aussi l'élimination des imaginaires dans le cas pseudo-réel clos). L'elimination des imaginaires dans les corps pseudo-p-adiquement clos n'y est par contre pas démontrée et je propose dans cet exposé de, presque, résoudre cette question en montrant que tout imaginaire est inter-algébrique avec un uple géométrique.

Mardi 21 juin : Moshe Kamensky (Ben Gurion), Galois theory of differential equations over general fields of constants

In the Galois theory of linear differential equations, the Picard--Vessiot extensions are differential field extensions that are analogous to the splitting fields in usual Galois theory. When the field of constants is algebraically closed, a classical result asserts that such an extension exists for every linear equation, and it is unique up to isomorphism. However, examples show that this fails when the constants are not algebraically closed.

I will discuss a joint work with A. Pillay, where we show that Picard-Vessiot (and more generally, strongly normal) extensions exist whenever the field of constants is existentially closed (as a field) in the base field. Furthermore, with some additional field-theoretic assumptions, we obtain that the field of constants is existentially closed in the extension, and also a suitable uniqueness result. This generalises results of Crespo-Hajto-van der Put and others.

Mardi 28 juin : Thomas Scanlon (UC Berkeley), Mahler functions and the theory of difference fields (a report on on-going joint work with Alice Medvedev and Khoa Nguyen)

In the 1930s, Mahler developed a method for proving the transcendence of special values of certain analytic functions by using the functional equations satisfied by these functions. In recent years, the difference Galois theory has been used to study the algebraic relations on Mahler functions satisfying linear difference equations. I will talk about Mahler functions satisfying nonlinear equations. More specifically, given a natural number k > 1 and a Laurent series f(x) in C((x)) (where C is an algebraically closed field of characteristic zero), we say that f is a k-Mahler function if there is a rational function P(x,y) which is a polynomial of degree at least 2 in y for which f satisfies the functional equation f(x^k) = P(x,f(x)). Zannier has shown that if f is a k-Mahler function which is algebraic over C(x), then f in C(x). We study the following question: If f and g are non-rational k-Mahler and l-Mahler functions, respectively, with k and l multiplicatively independent, must f and g be algebraically independent over C(x)?

Using our theory of σ-degree one difference varieties defined by polynomials, we reduce the problem to an apparently simpler problem of skew-conjugation between Galois-conjugate difference equations.

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