Responsables:
Z. Chatzidakis, F. Oger,
F. Point.
Tous les mardis ouvrables: à 16h00.
Bâtiment Sophie Germain. (Exceptionnellement, sur annonce, pourra
avoir lieu à 14h).
Pour recevoir le programme par email : oger_at_math.univ-paris-diderot.fr
La théorie ACFA des corps aux différences existentiellement clos est supersimple. La trichotomie (de Zilber) est la propriété suivante des types minimaux : la prégéométrie donnée par acl sur l'ensemble des réalisations du type, est ou bien triviale (acl(A)=\bigcup_{a in A} acl(a)) ; ou bien non-triviale et modulaire (grosso modo pas plus de structure qu'un espace vectoriel) ; ou bien interprète un corps.
Un des résultats fondamentaux concernant les complétions de la théorie ACFA est que les types minimaux satisfont cette trichotomie. Ce résultat, ainsi que la description des corps qui apparaissent, est d'ailleurs sous-jacente à la plupart des applications.
Cet exposé presentera une stratégie de preuve de cette trichotomie. Et quelques détails de la preuve.
Mardi 27 septembre :
Depuis les travaux de Hrushovski sur la conjecture de Mordell-Lang, on sait que la propriété d'orthogonalité aux constantes est centrale dans les corps différentiellement clos puisqu'elle témoigne de la dichotomie entre types minimaux localement modulaires et non localement modulaires.
Mardi 4 octobre :
Françoise Point (Mons), Questions de décidabilité pour des théories de modules sur certains anneaux de Bézout
Nous introduisons la notion de modules l-valués sur un anneau commutatif de Bézout. Un exemple étant l'anneau lui-même muni de l'application vers son groupe de divisibilité (une l-valuation). Dans ce cadre et supposant une propriété de divisiblité, nous montrons un résultat d'élimination relative des quantificateurs. Un des ingrédients est un théorème de Feferman-Vaught pour ces modules l-valués.
Mardi 11 octobre :
Tomas Ibarlucia (Paris
7), Propriétés topologiques des groupes d'automorphismes de structures
omega-stables omega-catégoriques.
Nous discuterons des liens entre les propriétés de stabilité d'une
structure oméga-categorique M et les propriétés de son groupe
d'automorphismes Aut(M) en tant que groupe topologique. En particulier,
nous expliquerons le résultat suivant : Une structure stable
oméga-catégorique M est oméga-stable si et seulement
si la compactification WAP de Aut(M) est un semi-groupe inversif (travail
en commun avec Todor Tsankov et Itaï Ben Yaacov). Nous parlerons aussi des
difficultés existantes pour généraliser ces idées au cas des structures
métriques.
Mardi 8 novembre à 16h45 :
Dans son article Stable group theory and approximate
subgroups (2011), Hrushovski montre (et utilise de manière essentielle)
un résultat, auquel on se réfère depuis comme le théorème du
stabilisateur, qui permet sous certaines hypothèse locales(mais sans
stabilité ni simplicité) de construire des groupes (stabilisateurs d'un
type, dans un certain sens) infiniment définissables.
Tout récemment, dans un travail sur les Groups with f-generics in NTP_2
and PRC fields, Montenegro, Onshuus et Simon en démontrent une
version un petit peu différente, avec des hypothèses un peu plus fortes,
mais une preuve plus simple. C'est cette version dont je me propose de
vous expliquer la démonstration.
Mardi 29 novembre : François Guignot
(Paris 7), Groupes valués construits sur
(Z, +) avec une chaîne finie
A longueur de chaîne finie fixée N+2, nous axiomatisons la
théorie commune à tous les groupes valués (Z, +, v, I), c'est-à-dire la
théorie commune à toutes les structures obtenues en munissant le groupe
additif de Z de prédicats pour N sous-groupes non nuls formant une
chaîne strictement décroissante. Nous présentons un langage dans lequel
tout modèle de cette théorie a l'élimination des quantificateurs. Ces
deux résultats découlent d'un même lemme que l'on démontre en se
ramenant à une paire de groupes (c'est-à-dire à une chaîne de valuation
de longueur 3) : il s'agit alors, à l'intérieur d'un groupe assez saturé
et élémentairement équivalent à (Z, +) de bien placer, conjointement,
certains éléments et sous-groupes.
Mardi 13 décembre :
On sait qu'un corps gauche stable de caractéristique p>0 est de
dimension finie sur son centre. On conjecture que cette dimension vaut
mêêe 1. Nous montrons qu'un corps non commutatif NIP de caractéristique
p>0 est de dimension finie sur son centre, et donnons des exemples où
cette dimension est différente de 1.
Mardi 10 janvier :
Olivier Frécon (Poitiers), Mauvais groupes de rang de Morley 3
Selon la conjecture d'algébricité de Cherlin-Zilber,
tout groupe simple et infini de rang de Morley fini est
un groupe algébrique défini sur un corps algébriquement clos.
Mardi 21 février :
Amador Martin-Pizarro (Lyon 1), Équationalité des paires de
corps
Une théorie est équationelle si tout ensemble définissable est
combinaison booléenne d'instances d'équations, c'est-à-dire des formules
telles que la famille des intersections finies d'instances ont la
propriété de chaîne descendante. L'équationalité, introduite par Srour
et ensuite étudiée par Pillay et Srour, entraîne la stabilité. Or, le
seul exemple algébrique naturel d'une théorie stable non-équationelle
est la théorie du groupe non-abélien libre, comme récemment montré par
Sela. Cependant, ce n'est pas évident de montrer qu'une théorie stable
donnée est équationelle. Cet exposé présentera les idées d'un travail en
commun avec Martin Ziegler sur l'équationalité de la théorie des belles
paires de corps algébriquement clos en toute caractéristique.
Mardi 28 février :
Christian d'Elbée (Lyon 1), Expansions minimales de (Z,+,0)
Cet exposé essayera de donner une vision d'ensemble des différentes choses connu à ce jour sur les expansions du groupes des entiers (Z,+,0) avec un accent sur les expansions dp-minimales. En particulier les deux structures (Z,+,0,<) et (Z,+,0,|_p) sont des expansions strictes de (Z,+,0) (avec x|_p y si et seulement si v_p(x) ≤ v_p(y)). Si (Z,+,0,...) est un réduit de (Z,+,0,<) qui est une expansion stricte de (Z,+,0), alors (Z,+,0,...) définit l'ordre <. Le même phénomène apparaît pour l'expansion (Z,+,0,|_p). Dans ce sens, ce sont des expansions minimales de (Z,+,0). G. Conant a montré dans l'article [1] que (Z,+,0,<) est une expansion minimale de (Z,+,0). On propose une autre preuve du théorème de Conant ainsi qu'une preuve que (Z,+,0,|_p) est une expansion minimale. On sait que (Z,+,0) n'a pas d'expansions stables dp-minimales ([2]). Comme (Z,+,0,<) et (Z,+,0,|_p) sont dp-minimales il suffit d'étudier les réduits instables. De plus quitte à travailler dans un modèle saturé, on pourra réduire l'étude des ensembles définissables à ceux de dimension 1. Le résultat de Conant se déduira rapidement par cette approche, en revanche le résultat concernant (Z,+,0,|_p) nécessite une bonne compréhension de l'arithmétique des ensembles définissable dans cette structure. Les nouveaux résultats présenté sont en commun avec E. Alouf.
[1] G. Conant. There are no intermediate structures between the group of integers and Presburger arithmetic. May 2016. Available at https://arxiv.org/pdf/1603.00454.pdf.
[2] G. Conant, A. Pillay. Stable groups and expansions of (Z, +, 0). January 2016. Available at https://arxiv.org/ pdf/1601.05692.pdf.
Mardi 7 mars :
Carol Wood (Wesleyan), Elimination of imaginaries for differentially closed fields of finite characteristic
All fields under discussion here are assumed to have finite characteristic p. This talk might be seen as a sequel to my survey talk at Françoise Delon's conference in June 2016, although it will not assume familiarity with this talk.
Mardi 14 mars :
Salma Kuhlmann (Konstanz), Kappa-bounded exponential groups and exponential-logarithmic power series fields without log-atomic elements
A divisible ordered abelian group is an exponential group if its rank as an ordered set is isomorphic to its negative cone. Exponential groups appear as the value groups of ordered exponential fields, and were studied in [1]. In [2] we gave an explicit construction of exponential groups as Hahn groups of series with support bounded in cardinality by an uncountable regular cardinal kappa. An exp-log series s is said to be log atomic if the nth-iterate of log(s) is a monomial for all n in N.
In this talk I will present a modified construction of kappa-bounded Hahn groups and exploit it to construct kappa bounded Hahn fields without log-atomic elements. This is ongoing joint work with Berarducci, Mantova and Matusinski.
[1] S. Kuhlmann, Ordered exponential fields, The Fields Institute Monograph Series, vol 12. Amer. Math. Soc. (2000)
Mardi 28 mars :
Nick Ramsey (Berkeley/Jérusalem), NSOP_1, Kim-independence, and simplicity at a generic scale
The class of NSOP_1 theories properly contains the simple theories and is contained in the class of theories without the tree property of the first kind. We will describe a notion of independence called Kim-independence, which corresponds to non-forking independence 'at a generic scale'. In an NSOP_1 theory, Kim-independence is symmetric and satisfies a version of Kim's lemma and the independence theorem. Moreover, these properties of Kim-independence individually characterize NSOP_1 theories. We will talk about what Kim-independence looks like in several concrete examples: parametrized equivalence relations, Frobenius fields, and vector spaces with a bilinear form. This is joint work with Itay Kaplan.
Mardi 18 avril :
Adrien Deloro (UPMC), Actions localement quadratiques de groupes de Chevalley, et représentations minuscules
Un très beau théorème de Timmesfeld caractérise, sans hypothèse sur K, la représentation naturelle de G = SL(2,K) parmi les Z[G]-modules : c'est le seul Z[G]-module irréductible V où les sous-groupes unipotents de G agissent “quadratiquement”, i.e. [U, U, V] = 0 (en itérant les commutateurs).
Mardi 16 mai :
La notion d'isomorphisme local a été introduite pour l'étude des pavages apériodiques (pavages de penrose, quasicristaux...). On considère un espace euclidien de dimension finie. On identifie deux sous-ensembles si et seulement s'ils sont équivalents à translation près. On dit qu'un sous-ensemble E satisfait la propriété d'isomorphisme local si chaque partie bornée de E apparaît dans toute boule de rayon suffisamment grand. Deux sous-ensembles E,F sont localement isomorphes si toute partie bornée de l'un apparaît aussi dans l'autre.
Deux pavages sont élémentairement équivalents si et seulement s'ils sont localement isomorphes. Les pavages de Penrose d'un même type sont localement isomorphes entre eux et satisfont la propriété d'isomorphisme local.
Ici, nous considérons trois familles de courbes auto-évitantes introduites par B. Mandelbrot pour construire des fractales. Nous montrons que chacune donne des recouvrements du plan, constitués chacun par une courbe auto-évitante ou par un petit nombre de telles courbes disjointes, qui satisfont la propriété d'isomorphisme local. Nous caractérisons la relation d'isomorphisme local entre les recouvrements d'une même famille.
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Dans mon exposé, je présenterai un critère d'orthogonalité aux constantes pour les équations différentielles définies sur le corps des nombres réels. J'expliquerai ensuite comment appliquer ce critère à la construction d'équations différentielles orthogonales aux constantes.
On en déduit des résultats de décidabilité pour des théories de modules sur certains anneaux de Bézout dénombrables avec “bonne factorization”, dont un cas particulier sont les “bons” domaines de Rumely (un exemple de tels domaines est l'anneau des entiers algébriques dont la décidabilité dans le langage des anneaux avait été montrée par van den Dries).
C'est un travail en commun avec Sonia L'Innocente (Université de Camérino).
Il y a presque 40 ans, Cherlin avait montré que s'il existe un
contre-exemple à cette conjecture,
alors il est de rang de Morley au moins 3.
Il avait aussi montré que s'il est de rang 3, alors c'est un mauvais
groupe :
ses sous-groupes définissables infinis propres sont de rang de Morley 1,
ils sont en particulier abéliens.
Dans cet exposé, nous montrerons pourquoi un tel mauvais groupe n'existe
pas.
Of interest here are two complete theories, namely differentially closed fields (DCF) and separably closed fields (inf-SCF) with infinite degree of imperfection. These theories are related. For example, the underlying field of a model of DCF is a model of inf-SCF, and the constant field is also a model of inf-SCF. In each case, there are natural choices of language in which the theory has quantifier elimination.
We will consider ways in which the theories are not alike. In the mid 1980's Gabriel Srour proved that DCF is equational, and also that the theories of separably closed fields of finite degree of imperfection are equational. However, to my knowledge, the equationality of inf-SCF is still unknown.
Delon proved that the finite imperfection separably closed fields have elimination of imaginaries (EI); this too is an open question for inf-SCF.
At the June conference, Zoé Chatzidakis and Silvain Rideau asked whether DCF might have EI.
Upon reflection and with a bit of work, I realized that the answer is yes. The proof involves an idea which Srour used in his proof of equationality for DCF. After providing some necessary background about DCF and inf-SCF, I will describe this recent work.
[2] S. Kuhlmann and S. Shelah, Kappa-bounded Exponential-Logarithmic power series fields, Annals Pure and Applied Logic, 136, 284-296 (2005)
Montrer ce théorème, c'est essentiellement savoir reconstruire sur un Z[G]-module quadratique une structure de K-espace vectoriel compatible avec l'action de G.
L'exposé présentera une généralisation de ce théorème aux autres groupes de Chevalley simples : si G est un tel groupe, et V un Z[G]-module sur lequel chaque sous-groupe racine (aussi appelé sous-groupe à un paramètre) agit quadratiquement dans le sens précédent, alors V est en effet un K-espace vectoriel construit à partir de représentations dites “minuscules” (concept qui sera expliqué).
Enfin il y aura une petite application symbolique aux représentations de rang de Morley fini des groupes algébriques.