Responsables:
Z. Chatzidakis, F. Oger,
F. Point.
Tous les mardis ouvrables: à 16h00.
Bâtiment Sophie Germain. (Exceptionnellement, sur annonce, pourra
avoir lieu à 14h).
Pour recevoir le programme par email : oger_at_math.univ-paris-diderot.fr
Le théorème de Hahn asserte que tout groupe abélien divisible ordonné (GADO) est (à isomorphie près) un sous groupe du produit de Hahn, et contient la somme de Hahn (le produit et la somme en question étant pris au-dessus du squelette de G). Le squelette de G étant un invariant valuatif, il est facile de voir que tout automorphisme de G induit un automorphisme de son squelette.
Dans cet exposé, nous nous penchons sur la réciproque: peut-on caractériser les GADOs pour lesquels tout automorphisme du squelette se relève en un automorphisme du groupe?. Il est facile de vérifier que la somme et produit de Hahn, et en fait, tout groupe de séries de Hahn κ-bornées (pour un cardinal infini κ), ont cette propriété de relèvement, mais on est loin d'une caractérisation générale. En particulier, il serait utile de savoir si tout groupe exponentiel a cette propriété.
Mardi 24 octobre : Françoise Point (Mons - IMJ), Définissabilité des types et VC densité dans les corps topologiques différentiels.
Etant donnée une théorie T modèle-complete de corps topologiques, on considère son expansion différentielle générique et sous une hypothèse de largeur sur le corps, on peut axiomatiser la classe des modèles existentiellement clos.
On montrera un résultat de densité sur les types définissables sur des sous-ensembles définitionnellement clos dans les modèles de telles théories. Ensuite on montrera deux résultats de transfert l'un sur la VC-densité (lorsque T est NIP) et l'autre sur la propriété combinatoire NTP2.
Pablo Cubides-Kovacsics (Caen), Autour des extensions séparées de corps valués
Une extension de corps valués (K ⊆ L, v) est dite séparée si tout K-sous espace vectoriel V ⊆ L de dimension finie admet une base séparée, c'est-à-dire, une base {u_1, ... ,u_n} telle que pour tout k_1,...,k_n in K,
Différents résultats autour de ces extensions, notamment issus des travaux de Walter Baur et de Françoise Delon, utilisent des outils de la théorie des modèles de paires de corps valués. Dans cet exposé je revisiterai certains de ces résultats en essayant de garder un point de vue algébrique. De plus, je discuterai le lien avec les extensions algébriques dites sans défaut. Il s'agit d'un travail en commun avec Ania Blaszczok et Franz-Viktor Kuhlmann.
Mardi 28 novembre :
Cet exposé est basé sur un travail de A.G. Myasnikov et M. Sohrabi. Les anneaux considérés ne sont pas supposés commutatifs, associatifs ou unitaires.
Mardi 12 décembre :
Todor Tsankov (Paris 7 -
IMJ), Sur les flots minimaux
métrisables
C'est un vieux théorème en dynamique topologique qu'à tout groupe
topologique on peut associer un unique flot minimal universel (UMF) :
un flot qui se projette sur tout flot minimal du groupe. Pour de
certains groupes (par exemple les groupes localement compacts), ce
flot n'est pas métrisable et n'admet pas de description concrète.
Néanmoins pour plusieurs “gros” groupes polonais, l'UMF est
métrisable, peut être calculé, et est lié à des phénomènes
combinatoires intéressants. Dans cet exposé je vais décrire l'état de
l'art et mentionner quelques résultats récents qui caractérisent les
UMF métrisables. Ces derniers sont du travail en commun avec I. Ben
Yaacov, J. Melleray et L. Nguyen Van Thé.
Mardi 19 décembre : Zoé
Chatzidakis (CNRS - ENS), Elimination des
quantificateurs dans les D-groupes
On sait que la théorie DCF_0 des corps
différentiellement clos de caractéristique 0,
élimine les quantificateurs dans le langage { + , - , ·
, 0 , 1 , D } des
anneaux différentiels.
Pierce et Pillay ont montré que tout ensemble définissable
est une combinaison booléenne d'ensembles définis par
des
D-variétés. Une D-variété est une paire (V, s), où V est une variété algébrique, et s: V →
t(V) une section du tangent tordu de V (sera défini). On pose alors
La question suivante se pose alors : étant
donnée une D-variété (V, s), est-il vrai que tout
sous-ensemble définissable de (V, s)^n est une combinaison
booléenne de sous-D-variétés de (V, s)^n ?
La réponse est positive quand (V, s) est un D-groupe. Le
résultat est dû à Piotr Kowalski et Anand
Pillay, dans : Quantifier-elimination for D-groups, TAMS 358 Nr1 (2005),
167 - 181. Je parlerai de leur preuve.
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10 - 11,
11 - 12,
12 - 13,
13 - 14,
14 - 15,
15 - 16,
16 - 17.
Je donnerai des caractérisations algébriques de
l'équivalence élémentaire pour les anneaux R
avec (R,+) de type fini (i.e. finiment engendré). Les
résultats sont analogues à ceux que j'avais
précédemment obtenus pour les groupes nilpotents de
type fini.
Un produit
cartésien de D-variétés est une
D-variété, et une sous-D-variété de (V, s)
est donnée par (W, s|W), où W est une
sous-variété de V telle que pour a ∈ W, on a s(a) ∈
t(W). Toutes les sous-variétés de V ne donnent donc pas
des sous-D-variétés.