Responsables: Z. Chatzidakis, F. Oger, F. Point.
Tous les mardis ouvrables: à 16h00. Bâtiment Sophie Germain. (Exceptionnellement, sur annonce, pourra avoir lieu à 14h).
Pour recevoir le programme par email : oger_at_math.univ-paris-diderot.fr

Mardi 24 septembre : Alex Berenstein (Los Andes), H-structures

A complete theory T is called geometric if the algebraic closure has the exchange property in all models of T and the theory eliminates the quantifier exists infinity. In such theories there is a rudimentary notion of independence given by algebraic independence. Examples of geometric theories include SU-rank one theories and dense o-minimal theories.
An expansion of a model M of T by a unary predicate H is called dense-codense if for every finite dimensional subset A of M and every non algebraic type p(x) over A, there is a realization of p(x) in H(M) and another one which is not algebraic over AH(M). A dense-codense expansion is called an H-structure if in addition H(M) is algebraically independent.
In this talk we will talk about the basic properties of H-structures and how the new structure can be understood as a tame expansion of the original structure M. We will discuss groups definable in this expansion. We will also present some recent results on the special case when M is the ultrapower of a one-dimensional asymptotic class.
This talk includes joint work with E. Vassiliev and D. Garcia and T. Zou.

Mardi 1er octobre : Adrien Deloro (Sorbonne Université), Sous-groupes qui pavent génériquement et géométrie des involutions

(En collaboration avec Joshua Wiscons)
L'exposé mélange théorie des modèles, théorie des groupes, et algèbre géométrique. On y parlera de groupes de rang de Morley fini, mais il suffit de savoir naïvement ce qu'est une dimension à valeurs entières, sans devoir maîtriser les finesses de la conjecture de Cherlin-Zilber.
Un groupe abstrait porte peu d'information de nature géométrique, même au sens des géométries d'incidence, et c'est toujours remarquable si cela se produit.
Le pur groupe SO(3, ℝ), par exemple, permet de redéfinir l'espace projectif réel. PGL(2,ℂ) permet presque la même chose : il définit un fragment générique de l'espace projectif complexe. En fait cette situation est naturellement liée à la distribution des involutions et aux intersections entre conjugués de leur centralisateur, qui pavent génériquement le groupe ambiant (tout cela sera expliqué dans SO(3,R) et PGL(2,C)).
En suivant cette piste on peut obtenir des énoncés étonnamment forts, généralisant au passage divers classiques sur les mauvais groupes ou sur les groupes définissablement linéaires de rang de Morley fini. On conjecture également que cette géométrie des involutions annonce un nouveau théorème d'identification pour PGL(2, K).

Mardi 8 octobre : Kaisa Kangas (Helsinki), An abstract elementary class framework for fields with commuting automorphisms

We take a look at structures that consist of a field together with finitely many distinguished field automorphisms required to commute. The theory of fields with one distinguished automorphism has a model companion known as ACFA, which Z. Chatzidakis and E. Hrushovski have studied in depth. However, Hrushovski has proved that if you look at fields with two or more commuting automorphisms, then the existentially closed models of the theory do not form a first order model class. This leads us to investigate them within a non-elementary framework. One way of doing non-elementary model theory is to move from elementary classes to the more general setting of abstract elementary classes (AECs). In the first order world, classes of structures are usually defined syntactically as model classes of a given first order theory. An AEC is defined more semantically, as a class of structures together with a binary relation that generalises the first-order elementary submodel relation. In this talk, we go through some basics of AECs and present an AEC framework for studying fields with commuting automorphisms.

Mardi 22 octobre exceptionnellement en salle 1016 : Nick Ramsey (ENS), The transitivity of Kim-independence

The class of NSOP_1 theories contains the simple theories and many interesting non-simple theories, such as the omega-free PAC fields or generic vector spaces with a non-degenerate bilinear form. With Itay Kaplan, we introduced Kim-independence which agrees with non-forking independence within the simple theories and shares many of its nice properties within the simple NSOP_1 context. One very basic roadblock in lifting simplicity theory to the NSOP_1 setting, however, was transitivity: a free extension of a free extension should still be a free extension. This is almost immediate for non-forking extensions in a simple theory, but becomes more involved for free extensions in the sense of Kim-independence. We will describe and motivate the basic theory, and then discuss our recent proof of transitivity. This is joint with Itay Kaplan.

Mardi 29 octobre : Michael Wibmer (Graz), Model theory of proalgebraic groups

Inspired by the model theoretic study of profinite groups, we discuss the foundations of a model theoretic approach to proalgebraic groups. Our axiomatization is based on the tannakian philosophy. Through a tensor analog of skeletal categories we are able to consider neutral tannakian categories with a fibre functor as many-sorted first order structures. The theory of a diagonalizable proalgebraic group is well understood. It is determined by the theory of the base field and the theory of its character group. This is joint work with Anand Pillay.

Mardi 5 novembre : Nathanaël Mariaule (Mons), Expansions de l'arithmétique de Presburger avec la propriété d'échange

Soit G un groupe élémentairement équivalent à Z dans le langage de Presburger L_Pres. Soit L une expansion du langage L_Pres. On dit que la théorie de (G, L) est L_Pres-minimale si tout sous-ensemble L-définissable de M est L_Pres-définissable (où M est un modèle de la théorie). Si G=Z, des résultats de C. Michaux et R. Villemaire impliquent que Th(Z, L) est L_Pres-minimale ssi la clôture algébrique a la propriété d'échange. Dans cet exposé, je discuterai le cadre général. En particulier, nous verrons que Th(G,L) est L_Pres-minimale ssi la clôture algébrique a la propriété d'échange et tout sous-ensemble définissable borné de G a un maximum.

Mardi 7 janvier : Sacha Post (U. des Andes), Groupes de Lie et définissabilité le cas (non) linéaire.

Entre les catégories des groupes semialgébriques et des groupes de Lie se trouve la catégorie des groupes définissables dans une expansion o-minimale des réels (noté simplement définissables dans la suite). Puisque tout groupe définissable peut être équipé d'une structure de groupe de Lie (Pillay 1989), il est intéressant de savoir sous quelles conditions un groupe de Lie est isomorphe (au sens de Lie) à un groupe définissable. Starchenko, Onshuus et Conversano ont répondu à cette question dans le cas où le groupe est résoluble (2016). Nous nous intéresserons ici au cas linéaire puis si le temps le permet au cas général.

Mardi 25 février : Silvain Rideau (IMJ-PRG), Autour d'un théorème d'approximation d'Artin

(avec Tom Scanlon)
J'exposerai un résultat d'élimination des quantificateurs pour les corps henséliens de degré d'imperfection fini, relativement à la famille uniforme de tous les groupes RV_γ = K^×/1+γ m. Ce résultat permet alors de démontrer que toute extension dense séparable de corps henséliens de même degré d'imperfection fini est élémentaire. En particulier, l'extension F_p(t)^h ≤ F_p((t)) est élémentaire. Ce dernier énoncé précise un résultat d'Artin selon lequel elle est existentiellement close.

Mardi 3 mars : Nick Ramsey (ENS), Les décompositions paradoxales et les théories simples

Y-a-t-il une théorie des mesures de Keisler pour les théories simples? J'expliquerai quelques exemples, suggérés par Hrushovski, qui montrent que les mesures dans une théorie simple sont plus complexes que prévu. Ils sont basés sur des actions de groupes libres.
Travail en commun avec plusieurs chercheurs.

Mardi 10 mars : Amador Martin-Pizarro (Freiburg), Théories non-équationnelles

Une théorie est équationnelle, si toute formule est combination booléenne d'équations. Une équation est une formule telle que la famille d'intersections finies d'instances n'admet aucune chaine infinie décroissante. Toute théorie équationnelle est stable, mais la réciproque n'est pas vraie : Sela ainsi que Müller-Sklinos ont montré que le groupe libre non-abélien n'est pas équationnel. Malgré tout, on connaît peu d'exemples de théories stables non-équationnelles.

Dans cet exposé, nous présenterons un travail en commun avec Martin Ziegler, où nous exhiberons une infinité de nouvelles théories stables non-équationnelles, à partir du pseudo-espace coloré de Hrushovski et Srour.

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