Responsables: Z. Chatzidakis, F. Oger, F. Point.
Tous les mardis ouvrables: à 16h00. Bâtiment Sophie Germain, salle 1013. (Exceptionnellement, sur annonce, pourra avoir lieu à 14h).
Pour recevoir le programme par email : oger_at_math.univ-paris-diderot.fr

Mardi 8 novembre : Sylvy Anscombe (IMJ-PRG), Cohen rings and existential AKE principles

A Cohen ring is a complete valuation ring of an unramified valuation of mixed characteristic. Every Cohen ring A is determined up to isomorphism by its residue field k; and if k is perfect, then A is canonically isomorphic to the more familiar ring of Witt vectors W(k). Thus Cohen rings are analogues of Witt rings over imperfect residue fields. Just as one studies truncated Witt rings to understand Witt rings, we study Cohen rings of positive characteristic as well as of characteristic zero. In the case k=Fp, and more generally for perfect k, the work of Ax-Kochen, Ershov, and others gives an axiomatization of the complete theory of A. In case k is imperfect, the algebraic picture changes since the embeddings between Cohen rings no longer correspond exactly to embeddings between residue fields. Nevertheless we still obtain a description of the complete theories of such valuation rings, and are able to prove stable embeddedness of the value group and residue field. We also obtain relative completeness and relative model completeness results for Cohen rings, which imply the corresponding Ax-Kochen/Ershov type results for unramified henselian valued fields also in case the residue field is imperfect.
This is joint work with Franziska Jahnke.

Mardi 15 novembre : Tuna Altinel (Lyon 1), Les groupes de permutations de rang de Morley fini

Depuis le début de l'analyse fine des groupes de rang de Morley fini, les groupes de permutation se sont avérés comme un outil efficace. La classification des groupes de rang 3 contenant des éléments d'ordre 2 par Hrushovski a été l'exemple le plus marquant. Les travaux de Gropp et de Nesin l'ont suivie. Depuis que la classification des groupes simples de rang de Morley fini de type pair a été complétée, les groupes de permutation de rang de Morley fini suscitent un intérêt bien plus fort et systématique à travers la notion de transitivité générique. Suite à l'article fondamental de Borovik et Cherlin, des avancées importantes vers des objectifs bien définis ont été obtenues par divers mathématiciens: Berkman, Borovik, Deloro, Wiscons. Dans mon exposé, après avoir introduit la notion, je parlerai d'une conjecture de Popov sur les groupes hautement génériquement transitifs. Ensuite, j'exposerai certains résultats en collaboration avec Joshua Wiscons en faisant le lien avec les actions des groupes finis de permutation sur les groupes de rang de Morley fini.

Mardi 22 novembre : Paul Wang (ENS), Groupes génériquement stables

Un type génériquement stable est un type définissable dont aucune suite de Morley ne témoigne de la propriété de l'ordre. Ces types ont de bonnes propriétés, héritées de la théorie de la stabilité, notamment une forme de symétrie de la déviation.
Un groupe définissable est dit génériquement stable s'il a un type générique qui est génériquement stable. Par exemple, dans un corps valué algébriquement clos, les groupes additif et multiplicatif de l'anneau de valuation sont génériquement stables.
Pour de tels groupes, certains résultats connus en théorie de la stabilité restent valides, notamment le théorème de configuration de groupe. J'expliquerai comment la preuve connue dans le cas stable s'adapte dans ce contexte.

Mardi 6 décembre : Andrea Vaccaro (Münster), Transfer phenomena in tracial von Neumann algebras and in tracially complete C*-algebras.

Integral decomposition is a fundamental technique in von Nemuann algebras, allowing to reduce the study of many properties of von Neumann algebras to that of factors. A similar transfer phenomenon has been recently observed on tracially complete C*-algebras, a class of C*-algebras which intuitively speaking resembles bundles on topological spaces with von Neumann algebras as fibers. In this talk I will introduce these transfer phenomena, and show how continuous model theory provides a suitable framework to rigorously formulate and investigate them. The contents of this talk are part of a joint work by Farah, Hart, Hirshberg, Schafhauser, Tikuisis and myself.

Mardi 13 décembre : Frank Wagner (Lyon 1), Groupes dimensionnels résolubles

Contrairement aux premières impressions qui font penser qu'on aurait besoin d'une forme du théorème des indécomposables, la théorie des groupes de rang de Morley fini résolubles se généralise bien au contexte des groupes finidimensionnels connexes.

Après une introduction à la notion de finidimensionnalité, je vais exposer les principaux résultats, dont la définissabilité d'un corps dans les groupes résolubles non-nilpotents, et la nilpotentce du groupe dérivé d'un groupe résoluble (toujours connexe finidimensionnelle).

Mardi 24 janvier 2023 : Ronald Bustamante-Medina (U. du Costa Rica), Groupes définissables dans les corps différentiels aux différences, un tour d'horizon.

La théorie des corps différentiels aux différences (plusieurs dérivations, un automorphisme, tout le monde commute) a une modèle-compagne, appelée D_nCFA.
Nous allons parler de ce qu'on sait sur les groupes définissables sur un modèle de D_nCFA, et on va mentionner quelques résultats pour le cas de corps différentiels avec plusieurs automorphismes (il n'existe pas alors de modèle-compagne).

Lundi 30 janvier, à 17h, en salle 6033 : Pablo Destic (DMA, ENS), Dérivées logarithmiques pour inverser des revêtements analytiques (basé sur un article de Scanlon).

L'exponentielle complexe n'admet pas d'inverse global, cependant il est possible de construire une dérivée logarithmique qui “inverse presque” l'exponentielle -- à l'action d'un groupe discret près. En utilisant un théorème GAGA o-minimal dû à Peterzil et Starchenko, et le fait que DCF_0 élimine les imaginaires, je vais généraliser cette construction à des revêtements analytiques complexes et, sous certaines hypothèses incluant le fait que le revêtement soit définissable sur un domaine fondamental dans une structure o-minimale, construire une dérivée logarithmique, définie sur une extension différentiellement close de ℂ, qui “inverse presque” un tel revêtement.

Mardi 14 février : Akash Hossain (Orsay), Déviation dans les groupes Abéliens ordonnés réguliers.

La notion modèle-théorique de déviation est facile à comprendre dans DLO et dans la théorie des groupes Abéliens divisibles sans torsion, toutes deux des réduits de la théorie des groupes Abéliens ordonnés divisibles (DOAG). Elle a également été caractérisée dans son expansion naturelle, RCF, par Dolich, en utilisant des arguments techniques qui ne fonctionnent pas dans DOAG. Il restait donc jusque-là une zone d'ombre sur le comportement de la déviation dans DOAG. Je vais vous présenter dans cet exposé une caractérisation de la déviation que j'ai établie, que l'on pourrait qualifier de simple et élégante, mais qui requiert des arguments étonnamment complexes utilisant la théorie de la valuation : il se trouve que le type dans DOAG d'un tuple admet une extension globale invariante (sur un sous-ensemble de ses paramètres) si et seulement si c'est le cas du type de chaque singleton de la clôture définissable du tuple (et des paramètres). Quant aux extensions globales invariantes des types unaires, elles étaient déjà bien comprises grâce à la notion d'o-minimalité. Ce résultat s'étend assez naturellement à tous les groupes Abéliens ordonnés réguliers.

Mardi 11 avril (salle 1013, Sophie Germain) : Adrien Deloro (IMJ - PRG), Paires quasi-Frobenius en théorie des modèles

(Travaux de Altinel, Corredor, D., Wiscons, Zamour)

Une paire de groupes (H < G) est dite quasi-Frobenius si (1) H intersecte trivialement ses G-conjugués et (2) H est d'indice fini dans son normalisateur dans G. Cette définition généralise la célèbre condition classique de Frobenius. Elle capture également des objets centraux en algèbre géométrique, comme le comportement de PGL(2,C) ou SO(3,R).
L'exposé décrira ce qu'on sait, et ce que l'on conjecture, sur les paires quasi-Frobenius en théorie des modèles.

Mardi 9 mai 17h, Buffon salle RH02B : Stefan Ludwig (DMA), Difference fields with an additive character on the fixed field

Motivated by work of Hrushovski on pseudofinite fields with an additive character, we introduce the theory ACFA+ which is the model companion of the theory of difference fields with an additive character on the fixed field. In this talk, we will present some basic properties of ACFA+ and see that it is given as the limit theory of the algebraic closure of finite fields with the standard character on the fixed field. Afterwards we will focus on type-amalgamation in ACFA+ and explain how 3-amalgamation already differs from the classical context in ACFA. If the time permits, we will explain how this reflects in model-theoretic Galois groups, notably the Kim-Pillay group.

Mardi 23 mai : Francesco Gallinaro (Freiburg), Quasiminimality of complex powers.

A conjecture due to Zilber predicts that the complex exponential field is quasiminimal: that is, that all subsets of the complex numbers that are definable in the language of rings expanded by a symbol for the complex exponential function are countable or cocountable. Zilber showed that this conjecture would follow from Schanuel's Conjecture and an existential closedness type property asserting that certain systems of exponential-polynomial equations can be solved in the complex numbers; later on, Bays and Kirby were able to remove the dependence on Schanuel's Conjecture, shifting all the focus to the existence of solutions. In this talk, I will discuss recent work about the quasiminimality of a reduct of the complex exponential field, that is, the complex numbers expanded by multivalued power functions. This is joint work with Jonathan Kirby.

Mardi 13 juin salle RH02 (Buffon) : Vincent Bagayoko (Konstanz), Groupes d'ordre de croissance

Les groupes (totalement et bilatéralement) ordonnés non-abéliens apparaissent à plus d'un titre en géométrie modérée. Une structure o-minimale à l'infini possède comme extension élémentaire l'ensemble des germes à l'infini de fonctions définissables en dimension 1. Son sous-ensemble des germes qui tendent vers l'infini en l'infini forme un groupe ordonné pour la composition des germes. Certaines théories o-minimales à l'infini comme les théories élémentaires du corps ordonné réel ou du corps ordonné, valué, différentiel des transséries admettent des modèles non-archimédiens qui sont des corps de séries formelles (séries de Puiseux, transséries) équippés de lois de compositions, pour lesquelles les éléments positifs infinis forment un groupe ordonné.
Ces objets partagent des propriétés dans le langage des groupes ordonnés, que l'on peut prendre comme axiomes pour une théorie de groupes dont les éléments représentent des “ordres de croissance” de fonctions strictement croissantes très régulières définies sur une droite. La résolution de l'inéquation f o g > g o f pour des ordres de croissance en est un exemple important. Existe-t-il une “bonne” théorie du premier ordre pour ces groupes, qui admette par exemple une modèle-complétion intéressante.
Je définirai une théorie de groupes ordonnés dont les deux exemples mentionnés sont des modèles naturels, et je présenterai un programme de recherche combinant algèbre, théorie des valuations et outils formels afin d'étudier ces groupes et de construire des exemples.

Growth order groups

Ordered groups (linearly bi-ordered ones) occur naturally in tame geometry. An o-minimal structure has an elementary extension of germs at infinity of definable unary functions. The subset of germs which tend to +∞ at +∞ is an ordered group for the operation of composition of germs. Certain theories whose models are o-minimal at infinity such as the theory of real-closed fields or the theory of w-free, Newtonian and Liouville closed H-fields with small derivations have models which are formal series fields (Puiseux series, transseries), endowed with composition laws for which positive infinite elements form an ordered group.
These two types of structures have common first-order properties in the language of ordered groups. Those can serve as axioms for a theory of groups whose elements represent growth orders of strictly increasing and very regular functions defined on an ordered line. A prominent one is how the inequation f o g > g o f is solved for growth orders f and g. Is there a “good” theory of ordered groups for these objects, whcih for instance has a model completion?
I will introduce a theory of ordered groups of which the two examples above are natural models, and I will describe a reasearch program combining group theory, valuation theory and formal series tools in order to study these groups and construct examples.

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